방정식과 함수, 정의/가치/차이점에 대하여 by 여러책

[ 방정식 ]

 

ㅇ 모르는 수를 찾을 때.. 모르는 수를 문자로 대신하여 답을 구하는 방법은 대수... 아니면 산수

    x+5 = 8

    x+5-5 = 8-5

    x=3

 

 

ㅇ 방정식은

- 미지수에 따라 참이 되기고 하고, 거짓이 되기도 하는 등식

- 미지수에 어떤 특별한 값을 대입했을 때만 성립하는 등식

- 미지수가 있는 등식

  . 등식: 등호(=)가 있는 식

  . 등식의 종류: 방정식, 항등식, 등식이 성립하지 않는 식

 

ㅇ 방정식은 미지수가 있는지, 등호가 있는지를 먼저 살펴 보아야 함

 

ㅇ 항등식과 구분해야 함. 항등식은 항상 성립하는 식임. 항상 성립한다는 말은 모든 수가 답이 된다는 말이다. 예를 들어 'x=x'와 같은 식은 미지수와 등호가 있으니 방정식인가? 

 

ㅇ 방정식의 해: 방정식을 만족하는 미지수의 값 (x=a라는 동치의 방정식으로 만들기)

 

 

ㅇ 방정식은 수학과 과학, 그리고 기술의 혈맥이다. 방정식이 없다면 우리가 사는 세계의 모습은 지금과는 매우 달라졌을 것이다....지도 제작에서 위성 항법까지, 음악에서 텔레비젼까지, 달탐험까지.....

 

ㅇ 수학에는 얼핏 보면 무척 비슷해 보이는 두 종류의 방정식이 있다.

 

1) 다양한 수학적 양들 사이의 관계를 나타낸다. 수학자가 해야 할 일은 그 방정식이 참임을 증명하는 것이다... 순수 수학 분야가 대부분 이 분야이다. 심오하고 아름다운 패턴과 규칙성을 드러낸다. 이 방정식들은, 수학의 논리 구조에 관한 우리의 기본 가정을 바탕으로 할 때 그것 말고는 대안이 없기 때문에 유효하다. 한 예로 방정식을 기하학의 언어로 나타낸 피타고라스의 정리가 있다. 기하학에 관한 에우클레이데스의 기본 가정을 받아들인다면 피타고라스의 정리는 항상 참이다. 

 

2) 알려지지 않은 양에 관한 정보를 주는 것이다. 수학자의 임무는 그것을 푸는 것, 즉 몰랐던 것을 알아내는 것이다. 응용 수학과 수리 물리학의 방정식들은 대개 이 종류에 속한다. 이 방정식들은 현실 세계에 관한 정보들을 부호화한다. 즉 이론상으로는 실제와 무척 다를 수도 있는 우주의 속성들을 나타낸다... 뉴턴의 중력 법칙이 좋은 예다. 그 법칙은 두 물체 사이의 인력이 각각의 질량과 서로 간의 거리를 바탕으로 어떻게 작용하는지를 알려 준다.....방정식을 풀면 행성들이 어떻게 태양 주위를 공전하는지, 혹은 우주 탐사선의 궤도를 어떻게 설계해야 하는지를 알 수 있다.

 

뉴턴의 중력 법칙은 수학에서 말하는 정리가 아니다. 그 법칙은 물리학적 관점에서 관측에 들어맞기 때문에 참이다. 중력 법칙은 달라 질 수도 있다. 실제로도 달라졌다. 

 

ㅇ 인간 역사의 경로는 방정식 때문에 몇 번이나 방향을 바꾸었다. 방정식에는 숨은 힘이 있다. 그들은 자연이 가장 깊이 숨겨 둔 비밀을 드러낸다. 이것은 역사학자들이 문명의 흥성과 쇠락을 짜 맞추는 종래의 방식과는 다르다. 

 

ㅇ 맥스웰은 자기와 전기에 관한 초기의 실험 관측과 경험 법칙 들을 전자기에 관한 방정식 체계로 통합했다. 그 수많은결과들 중에는 라디오, 레이다, 텔레비전이 있다. 

 

ㅇ 방정식의 힘은 그 근원이 단순하다. 두 계산이 서로 달라 보여도 답이 같다는 것을 말해 준다. 핵심 기호는 등호(=)다. 

 

ㅇ 방정식의 힘은 수학이라는 인간 정신의 집합적 창조와 물리적 외부 세계 사이의, 철학적으로 쉽지 않은 교신에 바탕을 둔다. 방정식은 바깥 세계에 있는 심오한 패턴들을 나타낸 모형이다.

 

ㅇ 수많은 사람들이 기호보다 언어를 선호한다. 언어 역시 우리에게 주위 세계를 통제할 힘을 준다. 그렇지만 과학과 기술에서 내린 결론에 따르면 언어는 애매하면서도 제한적인 면이 있어서 현실의 심오한 양상들과 소통할 수 있는 효과적 경로를 제공하지 못한다. 언어는 인간적인 가정들로 너무 많이 채색되어 있다. 언어만 가지고는 근본적인 통찰들을 얻을 수 없다.

 

ㅇ  일부 과학자들은, 특히 컴퓨터 공학 분야 출신인 과학자들은 이제 우리가 전통적 방정식들을 몽땅 버려야 할  때라고 생각한다. 특히 일반 미분 방정식과 편미분 방정식 같은 연속체 방정식들 말이다. 미래는 불연속적인 정수의 세계이며, 그 방정식들은 알고리즘 - 사물을 계산하는 레시피 - 에 자리를 내주어야 한다. 우리는 그 방정식들을 푸는 대신 그 알고리즘을 사용해 세계를 디지털 방식으로 재구성해야 한다.    --> 예들 들면 'A New Kind of Science '  by 스티븐 울프럼(Stephen Wolfram)

 

ㅇ 하지만 나는 이 주장이 매우 설득력 있다고 생각하지 않는다. 중요한 것은 한 수학적 계가 다른 계가 하는 일을 따라 할 수 있는냐가 아니라, 어떤 계가 문제를 풀거나 통찰을 제공하는 데 가장 효과적이냐다.... .그러나 우리가 디지털 구조와 시스템들에 기반한 새로운 자연법칙들을 곧 찾아내리라는 것은 아주 믿을 만한 이야기다. 미래는 방정식이 아니라 알로리듬으로 이루어질지도 모른다.

ㅇ 2011년 '울프람 매스월드'에서 방정식, 공식, 항등식을 검색했다.  검색 엔진이 2,032개의 방정식과 1,307개의 공식, 1,026개의 항등식을 찾아 주었다. (2008년에는 방정식 1,947개, 공리 1,253개 / 항등식 992개 였음)

 

ㅇ 컴퓨터는 지식을 쌓아가는 새로운 방법을 가져다주었다.....엄청난 양의 자료를 처리한다. 이제 더 이상 정말 중요한 규칙을 방정식의 형태로 표현할 수 있을 것 같지 않다. 그런 결과는 인공지능을 도입해야지, 사람의 지능으로는 이해할 수 없을 것 같다. 이미 컴퓨터는 풀 수 있지만, 사람은 풀 수 없는 체스 문제가 있다. 

 

ㅇ 어떤 지식은 사람의 지능으로 이해하기에는 너무나 복잡하다. 어렵다기보다는 복잡하고 난해하다는 뜻이다. 방정식은 언어로 설명하기에 불가능한 (너무 어려운) 어떤 개념을 이해할 수 있게 해주는 강력한 수단으로 발전해 왔다. 그러나 21세기 데이터베이스에 숨겨져 있는 지식을 방정식으로 이해함은 거의 불가능하다.

 

ㅇ 미래의 수학은 지금까지의 수학과는 다를 것이다. 역사적으로, 수학은 물리학과 긴밀한 관계가 있었다. 그러나 앞으로 다가올 세기에는 수학이 생물학이나 사회과학과 같은 분야에서도 활발하게 응용될 것으로 보인다. 암 치료에 수학이 활용될 수 있다는 발상은 대단히 고무적이다. 

 

ㅇ 수학을 사용하는 무언가를 만들고자 할 때, 우선 수학적 모델을 만들어야 한다. 그런데 그런 모델은 언제나 불완전하다.

첫째, 수학적 모델은 현실을 지나치게 단순화시킨다.

둘째, 모든 수학적 모델은 일정한 가정에서 출발한다. 때로는 그런 가정이 너무 당연해 보이거나 실험적으로 잘 받아들여져 그것이 가정이었다는 사실조차 잊어 버린다. 우리는 만든 모델을 선호하여, 그 모델을 수정하거나 버려야 할 때 충격에 빠지기도 한다. 

 

 

[ 함수 ]

 

ㅇ 함수란? 

- 커피 자판기에 돈을 넣고 원하는 커피를 선택하고 버튼을 누르면 커피가 나온다.

- 이것은 하나의 약속이며 관계다. 카페라떼라고 쓰인 버튼을 누르면 카페라떼가 나와야 한다.

- 하나의 버튼에 대해서는 틀림없이 하나의 정해진 하나의 커피가 나와야 한다. 수학에서는 이를 함수라고 한다.

- 어떤 두 집합 X와 Y가 있을 때 X에서 Y로의 함수란, X의 원소 하나에 Y의 원소가 오직 하나 대응하는 것을 말한다 (주가 되는 집합이 X다)

- 이때 X를 정의역, Y를 공역이라고 한다.

- 아래 그림에서

  . 첫번째 그림은 X의 원소 1,2,3에 Y의 원소 a,b,c가 하나씩 대응하므로 함수다.

  . 두번째 그림은 X의 원소 4에 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수가 아니다.

  . 세번째 그림은 X의 원소 1에 Y의 a,b 두 원소가 동시에 대응하므로 역시 함수가 아니다.

- 즉, 위의 세 그림 중 함수(X에서 Y로의 함수)를 나타내는 것은 첫번째 것 뿐이다.

- 예를 들어 정의역을 대한민국 국민 전체의 집합으로 하고 공역을 주민등록번호 전체의 집합으로 하면, 각 사람과 주민등록번를 연결하는 관계는 함수가 된다. 주민등록번호가 없는 사람도 없거니와 그 번호가 두 개인 사람도 없으니까...

 

ㅇ 함수는 수학의 최종 도착지이다. 

 

ㅇ 함수의 정의

- 두 변수 x와 y에 대하여 x의 값이 결정되면 이에 따라 y의 값이 하나로 결정될 때, y를 x의 함수라 하고, 기호로 y=f(x)와 같이 나타낸다.

- 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 X의 각 원소 x에 Y의 원소 y가 하나씩 대응되는 관계를 X에서 Y로의 함수라 하고 , 이를 다음과 같이 나타낸다. 

- 아래 그림 처럼 X를 정의역이라고 한다. '정의된 구역'의 약자로 변수 x가 취할 수 있는 값의 범위 또는 '변수 x가 정의된 영역'으로 이해하면 된다. Y를 공역이라고 한다. '공'은 함께 '공'자로 '정의역과 함께 하는 영역'이라는 뜻이다. 관계를 대응이라고 한다.   Y = X+5