수학력 by 나가노 히로유키

 

[ 밑줄 ]

 

'수학'은 많은 학생에게 있어서 배우는 의미를 알 수 없는 과목이다.. 아인슈타인은....

"교육이란 학교에서 배운 모든 것을 잊어버린 후에, 자신의 내면에 남는 것을 말한다.

그리고 그 힘을 사회가 직면하는 모든 문제를 해결하는 데 사용하기 위해 스스로 생각하고 행동할 수 있는 인간을 만드는 것이다."

 

수학력을 키우는 일곱가지 발생법

1. 정리한다. 2. 순서를 지킨다. 3. 변환한다. 4. 추상화한다. 5. 구체화한다. 6. 반대 시점을 가진다. 7. 미적 감각을 기른다.

 

(1장. 수학력이란 무엇인가)

 

수학 천재들이 수학자로 불릴 수 있었던 것은 결코 그들이 답을 빨리 낼 수 있었기 때문이 아니었다....

패턴으로 분류 가능한 정형화된 문제를 빠르게 정확하게 푸는 것은 컴퓨터가 가장 잘한다.....

인간의 힘이 필요한 영역은 아직 알고지즘(처리 수단)이 확립되지 않은 미지의 문제를 풀 때이며, 풀 수 없는 문제라도 해결하기 위한 실마리를 발견하는 것이다. 이것이야말로 '수학력'이다.

 

우리에게 필요한 것은 '번뜩임'에 의해 남보다 빨리 해답에 도달하는 힘이 아니라,

아무리 어려운 문제라도 한발 한발 대딛으며 논리적으로 해답에 다가가는 힘이다..

 

산수는 기존의 문제를 신속하고 정확하게 푸는 힘을 기르는 과목이며,

수학은 미지의 문제를 풀기 위한 힘을 기르는 과목이다.

 

"모든 것에서 수를 없애보라. 그러면 모든 것이 사라질 것이다." - 이시도루스(Isidorus Hispaleusis, 560 ~ 636년)

 

(3장. 수학적 발상법1. 정리한다)

 

정리와 분류로 숨겨진 성질을 끄집어낸다는 점에서 원소주기율표는 수학적 정리가 커다란 성과를 거둔 좋은 예..

 

정보란 그것을 얻음으로써 유익해지는 것을 말한다. 있으면 있을수록 혼란스러워지는 정보는 필요 없으므로 오히려 지눠나가야 한다.

 

능력도 의지도 없는 사람의 경우에는 어쩔 수 없이 '명령'할 수 밖에 없겠지요..

 

 

(4장. 수학적 발상법2. 순서를 지킨다)

 

썩지 않는다 -> 방부제가 들어 갔다 -> 몸에 해롭다.

햄버거를 불멸의 존재로 만든 장본인은 방부제가 아니었던 것이다. 햄버거는 특유의 모양 때문에 썩지 않았다고 한다. 

평평한 모양의 햄버거는 표면적이 비교적 넓어서 습기가 잘 빠져나가기 때문에 곰팡이와 박테리아가 생기지 않았다고 한다. 

 

하나라도 맞지 않는 예가 있다면 그 명제는 거짓이다

간절히 바란 사람이 꿈을 이룬 사람보다 더 큰 범위입니다. 여기서 '간절히 바라다 -> 꿈이 이루어진다'는 '대 -> 소'이므로 '거짓'일 수 밖에 없다.

가정이 충분조건, 결론이 필요조건이 되도록 생각하는 것이 올바른 증명(논리)를 도출하는 순서이다.

필요 조건 = 느슨한 조건 = 큰 범위 , 충분 조건 = 엄격한 조건 = 작은 범위

'아침을 먹는 아이는 성적이 좋다', '조기 교육을 받으면 어려운 시험에도 합격한다.', '무더운 여름에는 맥주가 잘 팔린다' 등 여러 가지 속설은 사실 모두 '대 -> 소'이 형태이므로 참이라고 할 수 없다. 이런 경우, 두 개의 사항에 어느 정도의 인과관계가 있는지 상관계수를 구하는 등의 통계적인 처리가 필요하다.

 

(5장. 수학적 발상법3. 변환한다)

 

원하는 결과로 변환하는 상자, 함수

함수는 입력된 값을 일정한 룰을 기준으로 변환해서 출력하는 상자다. 우리는 함수를 통해 원인으로부터 결과를 예측하고, 결과로부터 원인을 역추적할 수 있다.

 

여기서 중요한 것은 x의 값을 자유롭게 결정할 수 있다는 점이다. 그에 비해 y의 값은 x에 의해 결정된다. 

이럴 때 x를 독립변수, y를 종속변수라고 한다. '독립변수'란 다른 것으로부터 아무런 제약을 받지 않는 변수를 말한다.

'종속변수'란 자유롭게 값을 결정할 수 없는 변수를 말한다.

 

왜 함수의 답은 하나여야 하는가? 

x와 y간에 유익한 인과관계를 성립시키기 위해서이다. 여기서 입력은 x를 원인 출력인 y를 결과라고 생각한다면 일반적으로 원인과 결과의 대응관계는....

어떤 사항의 원인과 결과의 관계를 알 수 있다면, 미래에 일어날 결과를 완전히 예상할 수 있을 뿐만 아니라 동시에 과거에 일어난 결과의 원인을 특정하는 것도 가능하기 때문이다.

 

진정한 인과관계란 결과가 원인의 함수로 된 관계이다. 어떠한 사항에서도 원인은 독립적이며 또한 그 원인에 의해서 결과가 하나로 결정되는 경우, 거기에는 굉장히 강력하고 유익한 인과관계가 있다고 할 수 있다.

 

(6장. 수학적 발상법4. 추상화한다)

 

추상화, 즉 본질을 끄집어내는 것이야말로 수학의 최대 목표라고 해도 결코 과언이 아니다.

 

정리는 정보를 늘리는 것이 목적이다. 사실 분류라는 정리법 자체가 바로 추상화다...

 

모델화란 복잡한 현상을 잘라서 단순화하는 것을 말한다.

 

(7장. 수학적 발상법5. 구체화한다)

 

"전통이란 불을 지키는 것이지 재를 숭배하는 것이 아니다." - 구스타프 말러(Gustav Mahler)

 

"인생은 하나의 성냥과 같다. 귀중하게 다루기에는 시시하다.

그렇다고 함부로 다루면 위험하다." = 아쿠타가와 류노스케 -

 

(8장. 수학적 발상법6. 반대 시점을 가진다)

 

심리학자 앨버트 앨리스(Albert Ellis)가 창시한 '논리요법'..... 감정 유발 프로스세(Activating Event-Belief cosequence)의 약자를 따서 'ABC이론'이라고 부른다....

어떤 사건을 자신이 가지고 있는 기존의 사고 틀에 비추어 비합리적으로 해석하기 때문에 결과적으로 정서적 문제를 경험한다는 것...

 

사건은 동일해도 'B'를 바꿀 수 있으면 다른 결과(C)를 만들 수 있다는 것....

 

수학에서는 '가능성이 없는 것'과 '존재하지 않는 것'을 제시하기 위한 강력한 무기로써 '귀류법'이라는 증명 방법이 있다.

귀류법이란 증명하고자 하는 사항의 부정을 가정하여 모순을 이끌어 내는 증명의 방법이다

 

(귀류법의 순서)

(1) 증명하고자 하는 것의 부정을 가정한다.

(2) 모순을 도출한다.

 

[ 자평 ]

 

왜 돈을 주고 샀을까? 

왜 읽었을까?