발칙한 수학책 by 최정담(디멘)

[ 밑줄/연결 ]

 

유한 단순 대칭성을 (18개 유형과 26개 산재군) 완전히 분류한 업적은 21세기 수학의 가장 큰 쾌거입니다. 

 

저는 수학은 엄밀한 논리를 바탕으로 추상적인 진리를 찾는 학문이라고 생각합니다. 이 문장에서 특히 중요한 세 개의 단어는 엄밀함, 추상성, 그리고 논리적입니다. 수학은 세 가지 특징을 모두 갖춘 거의 유일한 학문입니다. 

 

추상화란 현실 속에 존재하는 개별 대상들을 탐구하는 것에서 나아가 수많은 대상을 관통하는 구조와 패턴을 찾는 작업입니다. 

 

수학이 다른 언어와 구별되는 점은, 일상 생활에서 서로가 소통하기 위한 언어가 아니라 논리적 추론을 기술하기 위한 언어라는 점입니다. 그리고 논리적 추론이 가능하기 위해서는 모든 문장의 참과 거짓을 확실히 판별할 수 있어야 합니다.

 

수학의 거의 대부분의 개념은 12개의 기호만 사용해서 표현할 수 있습니다. 

특정 개념을 정의하는 규칙들의 모임은 공리계라고 부르죠. 

 

정리는 이전의 정의와 정리로부터 파생되는 논리적 필연입니다. 하지만 공리는 수학의 첫 출발지이기 때문에 그 어떤 규칙을 사용해도 괜찮습니다. 

 

수학의 구조는 아래와 같이 공리-정의-정리의 형태로 이루어져 있다.

괴델의 불완전성 정리.

P가 참임을 증명할 수 있고 거짓임을 증명할 수도 있는 상황을 모순이라고 한다면, 불완전성은 P가 참임을 증명할 수도 없고, 거짓을 증명할 수도 없는 상황입니다.

 

불완전한 공리계

어떤 명제 P가 존재해 주어진 공리계를 통해 P와 P의 부정을 모두 증명할 수 없을 때, 그 공리계는 불완전하다고 한다.

 

괴델의 불완전성 정리

1. 페아노 공리계를 포함하는 모든 수학의 공리계는 모순되었거나 불완전하다.

2. 무모순적인 공리계는 스스로 무모순임을 증명할 수 없다.

 

'증명 가능하다'와 '참'은 동의어가 아니다. 증명 가능한 명제는 모든 모델에서 참이지만, 특정 모델에서 참인 명제는 증명 가능하지 않을 수도 있습니다.

 

차원: 주어진 공간에 있는 점의 위치를 표현하기 위해 필요한 숫자이 개수

 

4차원 생물체가 3차원 큐브를 보면 우리에게는 잘 상상되지 않는 방향으로 큐브의 겉과 속을 한꺼번에 볼 수 있을 것입니다. 

 

구면 위의 점을 표현하기 위해서는 위도와 경도, 단 2개의 숫자만 필요합니다. 그리고 구면 위에서 이동할 수 있는 방향은 가로와 세로, 두 가지 방향밖에 없습니다. 따라서 구면은 2차원입니다. 공은 3차원이지만 구면은 2차원입니다. 

 

정지 문제.

임의의 프로그램 P와 데이터 x에 대하여, P(x)가 유한 시간 내에 종료되는지를 판단하는 알고리즘을 제시하시오.

 

프로그램의 어떤 부분은 논리적으로 예측이 불가능합니다. 게다가 정지 문제와 같은 결정 불가능한 문제의 개수는 셀 수 없을 정도로 큰 무한을 이룹니다. 즉 결정론적 시스템과 예측 가능한 시스템은 동의어가 아닙니다. 

 

 

[ 자평 ] 수학책이 재미있다는 것은 나같은 문송에게는 신기한 일이다. 

 

내 경우에는 20대 말, 내 손으로 돈을 벌면서 본격적으로 책을 사서 본 것 같다. 

읽는 분야를 기준으로 나이가 들 수록 점 점 멀어지고 손을 놓게 되는 분야가 자기계발서, 경제경영서다.

점 점 가깝게 손에 쥐는 책 분야가 소설, 철학, 그리고 과학분야 특히 수학이다.