수학이 일상에서 이렇게 쓸모 있을 줄이야 by 클라라 그리마

[ 밑줄/연결 ]

 

(6장. 뻔한 조언을 무시해도 되는 이유)

남더러 이래라저래라 훈수 두는 사람치고 제 앞가림 잘하는 사람 없다던가? 

맞는 말이다. 때로는 남의 말 안 듣는 사람이 문제를 더 빨리 해결한다.

이건 수학적으로 증명된 사실이다.

 

고전적인 방법으로 풀 수 없는 최적화 문제라는 게 있다. 주어진 목적 함수에 가장 적당한 비용, 수익, 시간 등을 구하는 작업인데, 이 문제는 컴퓨터 연산으로도 풀어낼 수 없다. 가장 대표적인 것이 순회 세일즈맨 문제(TSP, Travelling Salesman Problem)다.....도시가 100개라고 생각해 보면 가능한 경로는 모두 100!이다....100!은 오늘날 관측 가능한 우주의 모든 소립자를 다 합쳐도 한참 모자랄 정도다. 이런 방식으로는 슈퍼컴퓨터를 동원해도 계산하기 힘들다. 

 

컴퓨터로도 못 구하는 최적값 구하는 방법......유전 알고리즘이라는 접근법이 유용할 수 있다....

 

너도나도 인터넷에서 본 글을 따라 하다가는 지역적 최적해에 갇히고 만다. 인터넷에 떠도는 글은 모든 개체를 고만고만하게 만들고 새로운 요소를 탄생시킬 만한 다양성을 무너뜨린다. 어찌 보면 혼혈이야말로 발전의 근원이며, 왕족처럼 동족혼을 추구하는 폐쇄적인 집단은 세대를 거칠수록 퇴화하고 결함이 쌓이기 마련이다.

"내 아이디어는 논리적으로 완전무결하다. 
한 가지 흠이 있다면 과거엔 아무도 이런 생각을 한 적이 없다는 것이다."  - 건축가 안토니 가우디(Antoni Gaudi)

(8장. 과연 일기 '예보'는 가능할까?)

기상학에 쓰이는 방정식들은 사실 특별할 게 없다. 포뮬러1이나 항공기 주변의 기체 흐름을 파악하는 데 적용되는 유체동역학과 열역학 방정식 정도면 된다. 문제는 이 방정식들을 계산하는 함수가 일정하지 않다는 것이다. 5차 방정식 이상은 근의 공식이 성립하지 않는 것과 같은 이치다. 이처럼 정확히 풀어낼 수 없는 방정직을 다룰 때는 수치 시뮬레이션을 통해 어림값을 구하는데, 일기예보는 대략 다음과 같은 과정을 거친다.

(1) 지구 전체 또는 일부 지역을 작은 칸으로 나눈다.

(2) 분할된 각 칸의 기상 조건이 특정 시점에 어떠했는지 확인한다.

(3) 그 기상 조건이 주변 칸들의 초기 관측값  변화에 따라 어떻게 달라지는지 방정식을 통해 확인한다. 이때, 위에서 말한 방정식이 사용된다.

 

시뮬레이션의 토대가 되는 초기 관측값에 매우 민감하기 때문에 방정식이 그리 간단하지 않다.....초기 관측값에 미묘한 변화만 생겨도 해당 지역예보는 완전히 달라진다. 이런 현상을 나비 효과라고 한다.

 

예컨대 특정 초깃값을 토대로 100번 연속 시뮬레이션을 실행한 결과 50번은 비가 왔고 50번은 비가 오지 않았다면, 비로서 기상청은 '비 올 확률 50%'라고 예보한다. 

 

(12장. 파도타기 응원을 과학적으로 접근하면)

파도타기의 수학적 모형이 흥미로운 이유는 다양하지만, 무엇보다도 독립적으로 행동하는 개인이 한곳에 모여 협력하는, 자동적이고 자연발생적인 행동 체계라는 것이다.....

 

집단행동이면서 관중 개개인의 결정이라는 점이다. 따라서 개별 의사결정 과정과 집단 행동 과정을 연결해야 하기 때문에 이론적 설명과 컴퓨터 시뮬레이션을 병행해야 한다. 

 

어떤 물질이나 기체를 연구할 때도 구성 원소에 대한 설명과 해당 체계에 대한 전반적인 이해가 모두 필요하다. 

 

파도는 항상 한 방향, 시계 방향으로만 움직인다. 자연 속 수많은 물리현상이 보여주는 대칭성을 한방에 깨뜨리는 참으로 별난 특성이다. 

 

(24장. JPEG파일과 셀카에 관하여)

파도타기의 수학적 모형이 흥미로운 이유는 다양하지만, 무엇보다도 독립적으로 행동하는 개인이 한곳에 모여 협력하는, 자동적이고 자연발생적인 행동 체계라는 것이다.

 

센서는 여러 종류가 있지만 기본적으로 포토 사이트(photosite)라 부르는 바둑판 모양의 작은 구성단위를 가리킨다. 이것은 조도를 감지해내는 장치다. 센서는 색을 구분할 수 없다. 오직 빛의 양만 감지한다. 그래서 포토사이트마다 빨간색, 파란색, 녹색 필터 중 하나를 장착해서 자기와 다른 색깔의 빛을 차단한다. 가령 빨간 필터는 파란색과 녹색 빛을 차단하는 식이다.

 

우리가 셀카를 찍으면 각각의 픽셀은 포토사이트 네 개가 모인 모자이크 형태를 띤다. 

이 포토사이트들은 0부터 255까지의 숫자를 이용해 색의 농도를 표현하는데, 해당 색이 전혀 감지되지 않으면 0, 최대로 감지되면 255인 식이다. 그래서 하나의 이미지는 총 세 개의 색을 보여주는 세 개의 표로 인식되며, 칸마다 0과 255 사이의 값을 가진 이 표들을 우리는 매트릭스라고 부른다.

 

이렇게 생성된 세 계의 매트릭스만 저정하면 카메라에 찍힌 이미지를 그대로 남길 수 있다......RAW 파일은 세 매트릭스 속 숫자를 모조리 보존하고 있다..... 

(40장. 인과관계는 상관관계를 수반하지만 그 반대는 성립하지 않는다)

어떤 행위가 어떤 결과를 유발한다면, 즉 인과관계가 있다면 관련 데이터를 분석했을 때, 반드시 상관관계가 나타나기 마련이다. 이 내용을 잘못 이해하면 다음과 같은 논리적 오류에 빠지기도 한다.

A이면 B이다. 따라서 B이면 A이다.

이른하 후건 긍정의 오류다. 예를 들면....

명제: 비가 오면 땅이 젓는다.

후건 긍정의 오류: 땅이 젖었으니 비가 온 것이다.

반박: 땅이 젖었다고 늘 비가 온 것은 아니다.

 

[ 자평 ]

 

다양한 생활 주변에 수학이 어떻게 사용되고 있는지.....

가볍게 읽고 웃어 볼만 하다.