수학의 힘 by 장우석

[ 밑줄/연결 ]

 

논리는 결코 감성의 반대편에 있는 것이 아니다. 문제의 합리적 해결은 엄밀한 논리와 섬세한 감정의 끊임없는 발흥. 그 어긋남과 일치의 양 날개를 통해 길러지는 것이다.

---> WoW..맞는 듯 논리와 감정, 분해와 통합 사이의 끊임 없는 떨림과 중첩.....그를 통해 의식하지 않게 불현듯 떠오르는 해법이 스스로 찾아 오는 듯....

 

20세기 미국의 교육심리학자 브러너 (J. Bruner)는 수학 학습의 목표가 지식 습득이 아니라 지식을 만들어내는 구조의 내면화하라고 말한 바 있다. 구조는 곧 본질이며 논리가 작동하는 길이다. 

 

문제 해결은 논리를 통해 이루어지며, 논리는 개념의 명확한 정의에서 시작한다. 그리고 수학 개념의 명확한 정의는 수와 도형이라는 언어를 통해 이루어 진다. 

 

어떤 개념을 정확히 이해하는 좋은 방법은 그 반대말을 생각해 보는 것이다....'커피에서의 자유'의 반대는 '커피의 탐닉'일 것이다.....자유란 '능력의 확보'라는 의미도 가지고 있는 것이다.

---> 전략도 마찬가지로 어떤 것이 전략이냐? 아니냐?는 그 반대말(또는 구분할 수 있는 대비되는 구분 옵션들)이 있느냐는 것이다.  예를 들여 저가 전략은 전략이다. 중가 전략,  고가 전략이라는 구분되고 선택가능한 다른 길들이 있기 때문이다.

--> 하지만 고객만족, 1등 이란 것은 전략이 아니다. 고객 불만족, 고객 적당 만족 등은 선택되어질 수 없기 때문이다.  결국 유일 무일한 길은 전략이 아니다. 그냥 수용해야 할 외부 변수라는 것이다. 예를 들어 2020년 코로나19에 효율적인 대응은 전략이 될 수 없다. 모든 기업에게 닥친 문제이니까...

 

추상성이 높은 개념일수록 많은 것을 담을 수 있다. 많은 것을 담을 수 있다는 것은 그만큼 다양한 측면으로 해석이 가능하다는 의미다. 따라서 추상성이 높은 개념을 사용할 때는 그 의미를 정확히 할 필요가 있다. 

--> 맞는 말이다. 어떤 기업이 '고객발 자기혁신'을 할 것이라고 한다. 100% 장담하건대 그 기업의 100명에게 그 뜻을 물어보면 100개의 답이 나올 것이다. 이런 언어로는 100명이 있는 그 기업을 운영할 수 없다. 같은 언어에 100개의 다른 실행이 나올 것이기 때문이다. 

--> 추상적이고 멋진 언어는 기업 경영에서 독이다. 그러나 big head들은 그런 언어에 집착한다. 멋져 버리기 때문이다. 

 

수와 도형이라는 수학의 기초 언어는 추상적이면서도 명확하고 투명한 언어다. 그래서 수학이 국가와 인종을 초월한 보편 학문일 수 있는 것이다. 고대 이집트에서도 중국에서도 인도에서도 상호 교류가 없던 사람들이 각기 문명을 건설하고 사회적 삶을 유지하는 과정에서 수와 도형이라는 동일한 언어를 사용했다.

 

수학을 공부하는 이유는 문제 해결에 있다.....수와 도형이라는 보편 언어를 통해 문제를 해결하고 그 과정에서 얻은 결과를 추상적으로 조직함(개념화)으로써 보다 일반적인 지식을 만들어내며 그 지식을 다시 새로운 문제에 응용할 수 있다. 

 

생각의 흐름을 일관되게 끌고 갈 수 있는 논리력의 바탕에서 도형을 다룰 수 있는 기하력 그리고 수를 다룰 수 있는 대수력이라는 기본 힘을 구축하는 것이 초/중/고 12년 동안 배운 수학의 핵심이다. 세 가지 힘(논리력, 기하혁, 대수력)의 기본적인 내용만 이해하더라도 수학의 핵심을 장악한 것이다.

 

논리력이란 추론을 할 수 있는 능력을 말한다.......어떤 사실들로부터 새로운 결론을 이끌어내 것을 추론(reasoning)이라 한다. 

 

추론에는 결론이 필연적이지 않지만 그럴듯한 개연추론(plausible reasoning, 약한 일관성)과 결론의 필연성이 보장되는 연역추론(deductive reasoning, 강한 일관성)의 두 가지가 있다......개연추론에서는 순수 논리 이외에 직관이나 상상력 또는 주관적인 경험 등이 일부 가미되기 때문에 그만큼 결론의 필연성이 줄어 든다. 연역추론은 전제에서 결론으로 가는 과정에서 조금의 비약이나 억지도 끼어들지 않는다. 

ㅇ 개연추론: 사건 당일 밤, 피해자 집의 개가 짖지 않았다. 따라서 범인은 피해자와 아는 사이다.

ㅇ 연역추론: 두 물체의 무게가 서로 같다면 각각의 무게에 같은 양만큼 더해도 결과는 같다. 

 

'인간은 동물이다'라는 조건은 '인간 = 동물' 이라는 의미가 아니다. 'X는 Y이다'라는 명제는 '모든 X는 항상 Y'라는 의미이며 '집합 X의 모든 원소가 집합 Y의 원소에 포함된다'는 의미다. 

 

삼단논법의 핵심은 포함관계를 혼동하면 안 된다는 데 있다. 

상황 1: 미인은 잠이 많다. 나는 잠이 많다. 따라서 나는 미인이다.

상황 2: 범인은 알리바이가 없다. 철수는 알리바이가 없다. 따라서 철수가 범인이다.

개연추론으로 대략적인 추측을 하고(발견) 그 다음에 연역추론을 통해 이를 사실로 확정하는 (증명)하는 것이다.

 

문제 상황을 문자로 추상화하는 대수는 19세기에 와서 영국의 불(G. Boole)에 의해 수가 아닌 대상에까지 확대 적용되었다......명제들끼리의 관계를 대수적으로 '계산'함으로써 그 결과의 참, 거짓을 판정하고 이를 바탕으로 의미 있는 명제를 추론해내기 위한 목적으로 만들어진 것.....

 

'연산 가능한, 즉 더하고 곱할 수 있는 모든 것'을 수로 부를 수 있다. 컴퓨터는 인간의 언어(일부이긴 하지만)를 수처럼 계산할 수 있다는 발상에서 시작되었다. 수학은 수를 다루는 학문이면서 동시에 더 많은 대상을 수로 보려는 인간의 노력이기도 하다.

 

함수는 긴 시간 동안 이루어진 기하(도형)와 대수(수)라는 숙성된 언어를 자연의 세계에 적용함으로써 자연의 복잡한 움직임 속에 존재하는 규칙성을 파악하려는 욕구에서 만들어진 개념이다. 즉 '변화의 규칙'이라는 생각이 함수라는 개념을 태어나게 한 산파다.

 

X와 Y라는 대상들 '사이에' 존재하는 규칙(질서)를 파악하는 수단으로 X, Y라는 대상들 '속에' 존재하는 내적 구조를 파악하고 비교하는 수단으로 확장, 발전한다.....함수라는 수학적 도구는 질서와 구조라는 틀로 세계를 이해하려는 노력의 산물이다. 모든 질서와 구조는 모종의 함수를 가정한다.

함수: 질서와 구조

 

함수의 두 가지 측면인 질서와 구조 중 질서, 즉 변화의 규칙 부분이 이끌어낸 아름답고도 강력한 과실이 미분과 적분이다. 미분과 적분은 모두 '변화'와 관련이 있다......

미분: 변화 정도(얼마나 빨리 변해가는지) 구하기....

 

인간은 함수를 미분함으로써 대상의 변화 정도를 알 수 있게 되며, 이는 세밀한 차원에서의 미래 예측과 그에 따른 대비로 이어질 수 있다.

 

적분은 함수의 변화 총량, 즉 '얼마나 많이 변했는지'를 계산해내는 과정에서 정의된 규칙이다..

적분: 변화 총량(얼마나 많이 변했는지) 구하기

 

변화하는 세속적인 그 무엇.....움직임, 즉 변화에 대한 적극적인 이해의 욕구로부터 근대 수학은 시작된다.

 

함수는 서로 다른 두 가지 대상(현상)을 연결하여 통일적으로 이해하고자 하는 노력에서 나온 개념이다. 이러한 연결은 문자 대수의 등장과 좌표의 발명에 힘입어 이루어졌다. 

변화하는 두 양 x, y가 있을 때 x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 유일하게 정해지는 관계가 있으면, y는 x의 함수이다.

 

함수를 구성함으로써 x와 y라는 별개의 대상이, 관계된 '하나의' 구조로 통합된다.

 

현상의 규칙을 찾고 원하는 답을 구하는 과정에서 함수가 자연스럽게 방정식으로 연결된다.

 

같은 계산 원리를 가진다는 것은 곧 수학적으로 동일한 세계라는 의미가 된다. 함수 즉 대응의 개념을 이용해서 서로 달라 보이는 세계의 수학적 구조의 동일성 여부를 판별할 수 있는 것이다. 구조의 동일성을 수학에서는 동형(isomphic)이라고 부른다. 이러한 동형이라는 함수적 발상을 방정식의 근 구하기에 적용해서 만들어진 세계가 추상대수학이라는 체계다..

국소적인 변화 현상을 관찰하여 얻은 결과를 가지고 일반적인 함수 자체(변화의 규칙)를 구해내는 것이 가능해진다. 예를 들어 방사성 붕괴 현상과 도시의 인구 변화를 설명하는 함수가 동일한 미분 방정식으로부터 구해진다는 사실은 수학이 가진 추상이라는 힘의 크기를 잘 보여준다.

 

결국 수학은 구체(느낌)과 추상(구조)의 통합이며, 내외의 통합이자 논리와 자유의 통합이다.

 

논리적 사고의 가장 중요한 측면은 문제 상황에서 끊임없이 던지는 질문에 있다. 즉 질문의 던지는 힘의 크기가 바로 사고력의 크기다. 지식이 만들어지는 추상화의 과정도 바로 질문의 과정이다.

 

[ 자평 ]

 

입시를 위해 읽었던 (정확히는 기계적으로 풀었던) '수학의 정석'과 이별한지 꽤 되었다. 

태어나서 <수학의 정석>을 만나고 같이 산 시절보다 헤어져서 다시 안 본 세월이 더 길다.

 

재미삼아 읽어 보는 '대중 교양서로의 수학'은 나에게 또다른 지적인 쾌락을 던저 준다. 

수학이 이렇게 재미 있었나?!!!

 

사회생황을 한지 꾸준히 사보는 분야가 물리와 수학 관련된 책들이다. 

모르면 모르는대로 그냥 넘어 가면서 읽어도 되는 것이 너무 좋다....시험 보는 것 아니니까...

 

장우석씨의 책은 대체로 만족스러웠던 것 같다.