톡쏘는 수학 방정식 by 수냐

[ 밑줄/연결 ]

 

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모든 방정식은 반드시 등호(=)를 포함한다.

 

미국의 작가이자 시인인 셔먼 알렉시(Sherman Jpseph Alexie)는 시란 무엇인가에 대해 다음처럼 독특하게 표현했다.

시 = 분노 * 상상력 (poetry = anger * imagination)

 

등식에는 세 가지 경우가 있다.

(1) 참인 경우

(2) 거짓인 경우

(3) 참 또는 거짓인 경우

 

참도 될 수 있고 거짓도 될 수 있는 등식......참과 거짓을 미리 알 수 없으므로 미지 등식? 이것이 방정식이다.

 

방정식은 특별한 등식이다....경우에 따라 참이 되거나 거짓이 되는 등식을 방정식이라고 한다. 

방적식은 '조건'과 함께 운명을 같이 한다.......조건에 따라 참 또는 거짓이 된다.

공식은 일정한 조건에 해당되면 항상 적용된다. 어떤 경우든 예외가 없다. 그런 의미에서 공식은 항등식이다....

수학 모델이 방정식이다.....수학 모델은 인과관계이기에 특정 원인에 대해 특정 결과만이 대응한다. 그 경우만 참이다. 조건이 달라지면 결과도 달라진다. 고로 특별한 경우만 참이고 나머지 경우는 거짓인 등식이 된다. 방정식의 정의를 그대로 만족시킨다.

 

"단 하나의 통일된 이론이 존재한다고 할지라도 그것은 단지 규칙과 방정식의 집합일 뿐이다.
방정식에 생기를 불어넣고 우주가 그것들을 통해 묘사되도록 하는 것은 무엇인가?
수학적 모델을 구축해가는 과학의 일상적 접근법은 다음의 질문에 답변하지 못한다.
그런 모델이 묘사하는 우주가 왜 존재해야만 하는가? "
- 스티븐 호킹 

"사람은 정치와 방정식 사이에서 시간을 나눠 써야 한다.
내게는 방정식이 더 중요하다.
정치는 현세를 위한 것이지만, 방정식은 영원을 위한 것이기 때문이다."
- 아인슈타인

 

방정식 = 세우기 + 풀기

방정식은 원하는 결과를 얻기 위해 활용된다. 그러기 위해 우선은 문제가 되는 상황을 수식으로 바꿔야 한다. 

그 다음에는 수식을 풀어 원하는 답을 얻어낸다. 

 

유현준 교수는 <도시는 무엇으로 사는가>라는 책에서 걷고 싶은 거리의 방정식을 제시한다. 그는 공간의 속도라는 개념을 제시한다......그는 공간의 속도가 4와 비슷한 거리가 걷고 싶은 거리라고 주장한다. 4란 사람이 보통 걸어 다니는 속도에 해당한다......홍대 거리는 4.86, 신사동 가로수길은 5.41, 명동은 6.5, 강남대로는 47.96, 테레란로는 52.03.....

원인 --> 결과

좌변 --> 우변

기자수 --> 미지수

 

방정식, 결과를 주고 원인을 묻는다.

방정식 문제의 유형....예를 들면..

ㅇ 합이 25이고, 차가 1인 두 자연수를 구하여라.

ㅇ 정사각형의 넓이에, 그 정사각형 둘레의 4배를 더했더니 45가 되었다. 정사각형의 한 변의 길이는 얼마인가?

ㅇ 일차방정식 4x- 5= 7을 풀어라.

 

모르는 수인 미지수가 문제에 주어져 있다는 것이다. '어떤 수'가 원인의 주인공이다. 그런데 크기를 모른다. 반면에 결과 값은 알려져 있다......방정식 문제들은 하나같이 결과를 통해 원인을 구하라고 한다. 

 

결과로부터 원인을 알아낸다는 것은, 등호를 오른쪽에서 왼쪽으로 본다는 말이다. 그래야 미지수를 구할 수 있는 계산식을 얻을 수 있다. 미지수가 포함된 식에서 미지수의 값이 답을 구하는 것이다. 그렇게 미지수를 기지수로 바꾼다. 

 

결과 --> 원인

우변 --> 좌변

미지수 --> 기지수

 

미지수 처리가 관건이다.

미지수가 있다는 게 방정식 문제의 핵심이다. 

 

방정식 세우는 순서

방정식은 인과관계를 따라 세워진다.....원인은 여러 개일 수 있다. 

(0) 수로 표현 가능한 것들만 따진다.

(1) 인과관계에 따라 이야기를 만든다.

(2) 원인과 결과가 무엇인지를 구분한다.

(3) 원인의 이야기를 수식으로 표현해 등호의 좌변에 놓는다.

(4) 결과 값을 등호의 우변에 놓는다. 끝!

 

인과관계는 딱 하나로 정해져 있지 않다. 사람에 따라, 관점에 따라 달라지기도 한다......누군가에게는 보이는데, 누군가에게는 보이지도 않는다. 아인슈타인 같은 사람들이 잘했던 게 인과관계 파악이다.

 

"A가 인생에 있어서이, 성공이라면, A = x+y+z의 합과 같다.
 x는 일이고, y는 놀이이며, z는 입을 꼭 다물고 있는 것이다."
- 아인슈타인

방정식 세우기가 만만치 않은 세상

방정식을 풀어내는 문제는 이제 인공지능이 확실한 우위에 있다. 방정식을 세우는 문제는? 어떤 현상 또는 데이터를 보고서 방정식을 세우는 것....이 문제는 아직 사람이 능력을 발휘할 여지가 있어 보인다. 방정식을 잘 세우는 인공지능은 아직 생소하다.........현상에 대한 데이터를 물끄러미 바라보면서 그 현상의 인과관계를 꿰뚫는 방정식을 찾아내기....

 

인공지능, 방정식 없이 방정식을 푼다.

2010년....인공지능은 사람이 규칙을 제시해주지 않더라도 규칙을 찾아내 문제를 해결하는 방법이 등장했다. 방정식 없이 시작해서, 방정식을 찾아내버리는 셈이다. 인공신경망을 통한 머신러닝이 그 방법이다. 머신러닝은 컴퓨터가 스스로 학습하도록 한다. 알아서 공부해 가장 좋은 해결책을 찾아내게끔 한다. 그러나 방정식을 만들어 풀어내는 건 아니다. 기존의 데이터를 분석해 가장 좋은 해결책일 것 같은 방안을 찾아낸다. 통계적인 해결책이다. 원리나 법칙, 이유가 있는 게 아니다. 유일무이한 답이라기보다 성공 확률이 제일 높아 보이는 답이다. 풍부한 경험을 통해 해결책을 제시하는 사람과 비슷하다......

머신러닝에는 일단 풍부한 데이터가 있어야 한다. 그리고 데이터를 분석해 해결책을 알아내는 적절한 알고리즘이 필요하다......머신러닝을 기반으로 한 인공지능에는 방정식이 없다. 현상을 이해하고 수학적 모델을 세우는 게 아니다. 대신 통계가 있다. 

이제껏 사람들이 문제를 해결할 때 주로 사용해왔던 방식과는 정반대다. 인과관계를 파악하지 않고, 성공 확률을 계산한다. 그러고도 개와 고양이를 잘도 구별하고, 각종 언어를 척척 번역하고, 사람의 음성을 제법 알아듣는다. 방정식 없이 문제를 해결해 간다. 문제를 해결하는 패러다임이 바뀌고 있다. 

---> 내게는 이 책에서 배운 가장 핵심적 부분이다. 

 

방정식과 인공지능은 접근 방법이 다르다. 방정식이 법칙을 기반으로 한다면, 인공지능은 데이터와 통계를 기반으로 한다. 

 

정확한 방정식을 안다면 현상을 이해할 뿐더러, 문제 해결도 휠씬 쉬워지니까.....

 

방정식은 문제를 인과관계의 수식으로 치환한다. 그 수식을 풀어 명확한 답과 이유를 제시한다. 하지만 인공지능은 데이터와 통계를 활용한다. 답은 확률적이며 분명한 이유가 없다. 두 방법은 충돌한다. 방정식이 있는 방식과 방정식이 없는 방식. 패러다임의 충돌이라고까지 말한다. 

 

[ 자평 ]

 

방정식과 함수가 어떻게 다른지 궁금해서 찾아본 책이다.

뇌를 때리기 위해서 가끔 수학책을 읽는다.