인간지능의 수수께끼 by 제임스 트레필(James Trefil)

[ 밑줄/연결 ]

 

 

(괴델의 정리)

 

1900년 수학자 회의 연설에서 데이비드 힐버트...수학계에서 아직 해답을 얻지 못한 23가지 문제들을 열거했다. 

 

목록에서 2번 문제는결과적으로 수학의 세계를 완전히 뒤바꾼 중요한 것이었다. 

힐버트는 산수에 적용되는 공리들이 자신의 표현대로 "조리가 정연한지 (상호모순이 없는지)"를 알고 싶어했다.

 

수학 시스템에 의해 도출된 어떤 주장(답)이 참 또는 그릇지를 가릴 수 있는 "단계적인 해결책 혹은 방식"(수학자들은 "앨거리즘"을 이렇게 표현한다)을 찾는 작업으로 정의되었다. 

 

<버트랜드 러슬의 1902년> 제목이 없는 책 패러덕스

 

1905년 수학자 줄스 리처드의  <리처드의 패러덕스>

모든 정상적인 논리규칙에는 문제가 있음을 보여준다.

 

1931년 쿠르트 괴델이 <수학의 원리와 시스템 중에서 공식적으로 증명할 수 없는 명제들에 관하여>라는 논문을 발표

15쪽...

힐버트 계획은 불가능하며 수학적 방식에 상호모순이 없으려면 적어도 증명이나 반증 중의 어느 하나가 가능한 주장을 하나는 갖고 있어야 한다고 밝혔다. 

 

'불완전하다'라는 말은 모든 주장들이 증명 또는 반증될 수 없다는 뜻이며, '모순이 있다'라는 말은 한 가지 수학적 주장을 동시에 증명하고 반증할 수 없다는 뜻이다.

 

괴델의 어떤 수학 시스템에 모순이 없으려면 그 시스템 내에 진위를 가릴 수 없는 주장이 적어도 하나는 담겨 있어야 한다는 뜻이다. 게다가 증명할 수 없는 그 주장이 바로 참이라는 것이다.

 

 

 

(복잡성의 시스템에 괴델의 정리 같은 것은 없는가?)

 

수학 시스템에서 모든 명제는 참 또는 오류, 둘 중의 하나로 증명될 수 있다는 진술보다 더 명확한 것이 무엇이 있는가?

 

괴델은 우리가 논리 시스템에서 어느 정도의 풍부성이 도달했을 때 거기에는 항상 증명될 수도 없고 반증될 수도 없는 진술들이 있다는 것을 증명하지 않았는가.

 

생물학자인 잭 코헨과 수학자인 이언 스튜어트는 공저 <카오스의 붕괴 - 복잡한 세상에서 단순성을 찾아>에서, 복잡성 연구에서 괴델 정리 같은 것이 생길 가능성에 관해 믿을 만한 시나리오를 제시했다.

----> 국내 번역본은 없는 듯.

 

"만일 우리가 환원주의적 법칙을 이용하여 고차원의 구조들을 설명하고 이해하고자 한다면 연역법을 따라야 한다. 만일 그 연쇄과정이 너무 길다면 우리늬 두뇌는 설명의 끈을 놓치기 시작한다. 창발적인 현상은 이런 식으로 발생한다."

 

"무법의 정리" 

이것은 '군'이라고 부르는 수학적 구조의 분류계에 관한 정리이다.

이것을 증명하는 데만 해도 100명 이상의 수학자들이 30년 이상의 시간을 들였으며, 설명하는 데도 1만 5,000쪽 분량의 책이 필요하다. 이 작업을 지휘한 사람은 수학자 대니얼 고렌스타인으로서...

 

증명들로 이루어진 일종의 연속체를 상상....

그 한계는 무한대로 길고 복잡한 하나의 증명이 될 것이다. 그 증명에 해당하는 진술은 본질적으로 증명될 수 없다. 복잡성의 이론에서 이것은 수학에서의 괴델의 진술과 유사한 것이 될 것이다.

 

 

(출구)

 

복잡성 이론이 '불가능성'이라는 주장으로 우리를 이끄는 방식에는 적어도 세 가지가 있으며 각 방식은 이 주장, 즉

"우리가 두뇌를 이해할 수 있다면 그것을 복제할 수도 있다."는 주장의 각 부분을 공략한다.

 

당신이 매우 복잡한 어떤 시스템을 접했을 때 이론적으로는 그 주체가 무엇이며 무슨 일을 하고 있는지를 알기가 불가능할 수 있다. .

만일 우리가 우주에 있는 모든 입자의 위치와 속도를 안다면 뉴튼 법칙을 이용하여 미채를 예측할 수 있으며 따라서 인간의 자유의지를 배제할 수 있다는 내용....

양자역학이 출연함으로써 입력정보를 얻기가 불가능하다는 사실이 증명...

같은 논리로서 새로운 복잡성의 과학에는, 우리가 두뇌처럼 복잡한 시스템을 전혀 이해하지 못하게 만드는 특징들이 담겨져 있는지도 모른다. 반면, 우리는 매우 복잡한 시스템에 접했을 때 그 속에 절대 그것을 만들 수 없다고 말하는 법칙들이 있다는 것을 발견할지도 모른다.

 

당신이 매우 복잡한 시스템을 구성했다 하더라도 개별적인 부품들과 최종행동 사이의 관계를 이해하기가 너무 복잡하여 실질적으로는 그 특성이 무엇인지를 예측하기가 불가능한 것으로 드러날지 모른다. 이것은 괴델 식의 시나리오이며 코헨과 스튜어트의 추정과도 비슷할 것이다.

 

 

[ 자평 ]

 

1999년 국내 번역된 책이고 오래 전에 읽었는데, 필요하여 찾으려니 어디  두었는지 알수가 없어 도서관에 찾아서 다시 봤다.

 

원서의 제목은 ' Are We Unique: A Scientist Explores the Unparalleled Intelligence of the Human Mind'(1998년)이며, 저자는 물리학을 전공한 작가다.