철학 수학 by 야무챠

[ 배운 점 ]

 

부제는 페르마의 마지막 정리라는 악마에 홀린 수학자들의 이야기...

 

페르마의 정리가 어떻게 증명되었는지 그 역사적 맥락을 따라갈 수 있도록 쉽게 써 져 있다.

 

다만 페르마 정리가 해결되는 데 기여한 분들과 어떤 점이 기여했는가를 서술하는 역사서다. 페르마 정리 자체를 증명하는 것은 아니다.

 

 

[ 주요 내용 ]

 

ㅇ 만약, 타협하는 인생을 더 이상 견디지 못한다고 한다면.........

그런 사람들은 이제 혁명을 일으키는 수밖에 없다. 자신의 인생을 결코 무모한 '뭔가'에 도전하는 수밖에 없다.

 

ㅇ 공리란 '올바른지 아닌지 증명해낼 수는 없으나 어쨌든 올바른 것으로 가정하는 암묵적인 이해'를 말한다.

 

ㅇ 수학은 현실 세계와의 대응이나 실용성에 얽매이지 않고 기호의 관계성의 구조를 탐구하는 학문으로 여겨지게 되었다.

 

ㅇ 제대로 만들어진 수학 체계가 완전하다는 것은 - '어떤 문제든 진위의 판정을 할 수 있는 것' 그리고 '내부에 모순이 발생하지 않을 것은 - 수학을 사용해 증명하지 않으면 안 된다. 수학을 사용해 수학 자체가 완전하다는 것을 증명하는 것은 조금 이상하다는 느낌이 들지만 그것밖에 방법이 없으니 어쩔 수 없다.

 

ㅇ 괴델의 불완전성 정리.....'어떤 모순도 없는 수학 체계 중에 긍정도 부정도 할 수 없는 증명 불가능한 명제가 존재한다.'

 

ㅇ '적절한 공리를 선택해서 아무리 훌륭한 수학 체계를 구축해도 그 체계에 참이라고도 거짓이라고도 할 수 없는 명제 (기호의 관계식)를 반드시 만들게 된다. 결국 어떤 문제도 진위를 답할 수 있는 궁극의 수학 체계란 처음부터 만드는 게 불가능하다.'

 

ㅇ 어떤 수학 체계에 모순이 없다고 해도 그 수학 체계는 자기 자신에게 모순이 없다는 것을 증명할 수 없다.

 

ㅇ 제1불완전성에서 보았듯이 수학 체계 중에 증명 불가능한 명제가 존재한다는 것은, 수학 체계 안에 올바르다고도 그르다고도 할 수 없는 불분명한 영역, 즉 Gray  Zone이 내부에 있다는 것이다. 그러므로 수학 체계가 모순 없이 완벽하게 올바르다고 증명할 수는 없다.

 

ㅇ 수학 체계 B에 모순이 발견되지 않는다고 해도 '그 수학 체계에 정말 모순이 없는가, 아니면 모순은 있지만 현시점에서 아직 모순을 발견하지 못한 것 뿐인가'를 구별할 수 없기 때문이다.

 

 

ㅇ 요컨데 모순이 없는 것처럼 보이는 수학 체계를 만들어 만약 수천, 수만 년간 모순이 발견되지 않았다고 해도, 그리고 정말로 모순이 없었다고 해도 그 수학 체계에 일체의 모순이 없으며 괜찮다고 확신에 이르는 일은 결코 불가능하다. 그러니까 수학자들은 어쩌면 지금 사용하고 있는 수학 체계가 당장 내일이라도 모순이 발견되어 붕괴될지도 모르는 위험을 항상 안고 수학을 계속하여야 하는 것이다.

 

ㅇ 수학은 인류가 손에 넣은 것 중에서 가장 강력하고 뛰어난 논리 체계이다.

 

ㅇ '어떤 명제가 올바르다면 그것이 옳다는 것을, 혹은 잘못되었다면 그것이 잘못되었다는 것을 인간은 이성을 이용해 반드시 알아낼 수 있다.' .. 이것이 도전자들의, 그리고 수학이나 논리, 이성을 도구로 문제를 풀려는 자들의 공통된 신앙이다. 그런데 그것이 괴델의 불완전성에 의해 전복된 것이다.

 

ㅇ 앨런 튜링이 '증명 불가능한 명제인가 아닌가를 판정하는 통일된 방법은 존재하지 않는다'는 것을 거듭 증명한 것이다. 즉, 인간은 어떤 문제를 보아도 그것이 증명 가능한 문제인가 아닌가를 사전에 아는 것조차 허락받지 못한 존재

 

ㅇ 전자파: 전기장과 자기장이 교대로 퍼져가는 파동

 

ㅇ 이 전자파가 전달되는 속도를 이론적으로 계산한 결과, 빛의 속도와 완전히 일치했던 것....전혀 다른 현상이라고 생각되던 빛도 사실은 전자파였다는 사실이다.

 

ㅇ 전기, 자기, 빛을 통일해서 다룰 수 있는 전자기학이라는 분야가 창설

 

 

 

 

 

ㅇ  '페르마의 마지막 정리'라는 전설의 미해결 문제와 '타니야마-시무라 예상'이라는 최신 미해결 문제가 완전히 연결된 것이다.