1 더하기 1은 2인가 by 존 배로

[ 밑줄/연결 ]

 

"이해 가능할 정도로 단순한 우주는 그 우주를 이해할만큼 고등한 두뇌를 포함할 수 없다. " - 존 배로의 '배로의 불확실성 원리

----> 책의 감수자인 김민영교수가 저자의 또 다른 책 <세상 속의 세상 The world within the world>에 들어 있다고 하는데 저 책이 영국에만 있는지 검색은 되지 않는다. 

 

양자역학에서는, 세계의 상태에 대한 정보 내용이 0과 1에 가중치를 적용한 값의 선형 조합이다. 이것은 단순히 0 또는 1이 되지 않으며, 그 둘이 섞인 상태이다. 

 

1931년에 괴델은 유한한 계(논리이건 다른 어떤 것이건)에 모순이 없고 그것이 산술을 포함할 정도로 크면, 그것으로모든 수학적 진리를 유도할 수 없음을 증명했다.

 

(힐베르트)

수학의 각 부분을(그러므로 수학 전체를) 떠받치는 공리들을 결정할 수 있고, 이 공리들이 무모순임을 보일 수 있고, 그 결과로 이러한 공리들로부터 형성된 명제들과 추론들의 체계가 완비성이 있고 결정가능함을 증명할 수 있다고 믿었다.

괴델은 산술의 완비성을 증명한 것이 아니라 반대의 것을 증명했던 것이다. 그는 모든 산술을 포함할 만큼 충분히 풍부한 무모순적 체계는 무엇이건 완비성이 없고 결정불가능함을 증명했다. 

 

(수학적 플라톤주의)

모든 사물이 어딘가 다른 세계에 존재하는 이데아의 부분적이거나 불완전한 모조품이라는 플라톤의 관점에서 비롯한다.

수학적 대상, 집합, 곡선, 수, 거듭제곱 등은 실제로 존재하고, 우리는 그것을 발명한다기보다 발견한다. 

수학적 대상(수 1, 2와 공식 1+1 =2 같은 것들)이 존재하며, 추상적 대상들(이는 그것들이 물리적 영향을 주지 못한다는 뜻이다)도 존재한다고 본다. 

 

(수학적 형식론)

프레게, 페아노, 러셀, 화이트헤드, 힐베르트 같은 수학자들이 자명하고 모순이 없는 공리의 단일한 집합으로부터 모든 수학을 끌어내려고 했다. 그들에게 수학적 진리 또는 '존재'는 단순히 무모순성을 말하는 것이다. 

형식론적들에게 수학은 발명되는 것이지 발견되는 것이 아니다. 우리가 규칙을 정하고, 공리 집합의 귀결을 탐구한다. 추론된 것은 우리의 마음속과 우리의 공책 속, 그리고 칠판에만 존재한다. 

 

(수학적 구성주의 또는 직관주의)

어떤 것을 참으로 가정하고 나서 이 가정으로부터 모순을 추론해 이것이 참일 수 없다는 결론을 얻는 증명을 받아들이지 않는다....수학이 완전한 인간 정신의 구성물이라고 생각한다. 

 

(사회 구성주의)

수학을 사회적 구성물로 본다. 객관적인 지식은 집단적 지식과 사회적 상호작용을 통해서 진화하고 성장한다. 따라서 수학은 절대적인 텍스트나 정리의 모음이 아니라 국가 기관의 법적 이해나 헌법의 해석 같은 것이며, 혹은 우주론 연구 같은 것이다. 수학은 많은 정신들 속에 조금씩 흩어져서 존재하는 그 무엇이다. 

 

(구조주의)

수학이 수 자체에 대한 것이라기보다 숫자들의 패턴 또는 관계의 모임에 대한 것이라고 생각한다. 

수학은 가능한 패턴들의 집합이고, 그 중 어떤 것들은 세계에 확연히 드러난다는 것이다. 행성의 궤도나, 물질의 기본 입자들 사이에서 일어나는 상호작용의 대칭성 또는 패턴과 같은 것이 그러한 예이다. 

 

우주에 패턴이 없다면 우리는 존재할 수 없다. 

 

 

[ 자평 ] 안타깝지만, 쓰다 만....

 

되돌아 보니 이 분의 저서를 더러 읽었다.

이 책이 이 분의 마지막 저서라 한다.