괴델 by 존 캐스티

[ 밑줄/연결 ]

 

괴델이 발견한 것은 비록 순수한 수들간에 참인 관계들이 존재할지라도, 연역논리의 방법들은 너무 취약해 우리는 그러한 모든 사실들을 증명할 수 없다는 것이다. 달리 말하면, 진리는 증명보다 크다는 것이다.

 

괴델이 보여준 것은 결국 어떤 종류의 수학도 진리의 일상적 개념을 충분히 표현할 만큼 포괄적일 수 없다는 것이다.

 

괴델이 보여준 것은 우리가 수학적 귀납을 비롯해 논리적 추론과 수학적 증명의 모든 수단을 동원한다고 할지라도, 참인 수학적 진술 중 어떤 것들은 증명 불가능하다는 것이다. 간단히 말해 증명될 수 있는 것과 참인 것 사이에는 영원히 넘어설 수 없는 괴리가 있다는 것이다.

 

20세기의 가장 유명한 수학적 (그리고 철학적) 결과일 것이다.

괴델의 정리 - 비형식적으로 나타냈을 경우

'산술에 대한 완전한 형식화는 가능하지 않다.'

 

괴델의 정리 - 형식 논리의 개념을 통해 나타냈을 경우

모든 무모순적 산술의 형식화에 대해서, 형식체계 안에서 증명가능하지 않은 산술적 진리들이 존재한다.

 

괴델의 저작은 사유와 계산의 기계화라는 문제에 대해 결정적인 실마리를 던져준다.

 

괴델의 정리가 중요한 것은 사실상 그 정리가 인간 정신의 합리적인 힘에 한계가 있다는 것을 암시한다는 점이다.

 

하향 옹호론자와 상향 옹호론자 모두가 동의하는 것 중 하나는 인간의 인지능력을 기계에 복제하는 데에는, 원리적으로 어떤 장애도 없다는 것이다. 논쟁의 되는 것은 오직 어떻게 그것을 복제할 것이냐 하는 점이다.

 

괴델은 지능에서 인간 정신과 동등한 기계가 실제로는 만들어질 수는 있지만 - 예컨대 진화에 의해서 - 만일 그러한 장치가 있다면, 우리는 결코 그것을 이해하지 못할 것이라고 암시하고 있다. 그것은 우리에게 너무 복잡할 것이다.

 

[ 자평 ] 한 번은 이해하고 넘어서고 싶은 사람의 생각, 괴델...

 

비트겐슈타인 - 튜링 - 괴델의 생각이 어떻게 엮이는지 해설해 주는 책이다.

읽었던 당시에도 이해하지 못했다. 다시 읽었었도 이해하지 못했다. 앞으로 또 읽었도 이해하지 못할 것이다.

 

그래도 재미있고, 의미가 있다.