수학 방정식의 사생활 by 리치 코크런

[ 밑줄/연결 ]

 

엔트로피는 어떤 시스템의 무질서한 정도라고 정의한다. 

엔트로피가 계속 증가하지 않으며 유한하다는 특성은 우리 삶에 속속들이 영향을 끼친다고 해도 지나친 말이 아니다. 엔트로피는 결국 생명체의 구조에도 힘을 발휘한다. 

열역학 제2법칙은 기계의 효율성에 제한을 가하며, 에너지를 100% 작업으로 바꾸는 완벽한 엔진을 불가능하게 한다.

이런 모든 것들은 일방통행의 비가역적 과정이다.......엔트로피로 우리는 우주가 특정 방향으로 향한다는 사실을 알 수 있다. 그 종착점은 모든 물질과 에너지가 균등하게 퍼져 있는 우주의 열죽음(Heat death)이다.

엔트로피는 닫힌 시스템(계) 안에서는 결코 감소하지 않는다. 닫힌 시스템은 외부에서 내부로 아무런 일이 일어나지 않는다. 예를 들어 지구는 태양이라는 외부에서 쏟아지는 에너지를 받기 때문에 닫힌 시스템이 아니다.

 

어떤 물질이 하거나 할 수 있는 무언가를 드러내 포착하는 것이 에너지다. 예를 들어 벼랑 끝에 놓인 바위는 중력에 의해 아래로 굴러 떨어질 가능성이 있기 때문에 위치에너지를 가진다. 그리고 실제로 밑으로 떨어지면, 바위는 그 과정에서 위치 에너지를 운동 에너지로 바꾼다. 바닥에 떨어지는 순간 이 에너지는 다시 소리와 충격파, 열, 산산히 부서진 바위 조각으로 바뀐다. 같은 에너지가 다른 형태로 바뀌는 셈이다.......아인슈타인의 방정식은 질량과 에너지는 뭔지는 몰라도 같은 대상이 다른 이름일 뿐이다라는 뜻이다.

아인슈타인의 방정식은 특정 극단적인 사례들을 보다 잘 설명해주었다.......물체의 질량이 엄청나게 크거나 속도가 아주 빠를 때다. 

만약 질량과 에너지가 본질적으로 같은 것이라면, 어떤 시스템에 에너지를 투입하면 (예컨대 속도를 높이면) 질량이 늘어난다. 이것은 실험을 통해 관찰된 사실이다. 

 

양자적 수준에서 입자는 동시에 파동이다. 즉 무언가가 한 지점에 집중되어 머무르기보다는 공간에 퍼져나간다는 뜻이다....이런 경우에는 운동에 대한 방정식을 푸는 대신에 파동 방정식, 정확하게 말하면 슈뢰딩거 파동 방정식을 풀어야 한다.

실용적인 영역에서 보면 양자역학은 반도체와 레이저를 뒷받침하는 과학이다. 오늘날 우리를 둘러싼 작은 전자기기 가운데 이 두 가지 기술이 들어가지 않은 것은 하나도 없다. 

아인슈타인 역시 입자는 관찰되는 장소에 머물러 있으며 우리는 단지 그 위치를 확인할 뿐이라는 해석을 더 선호했던 것으로 유명하다. 아인슈타인의 관점에서 보면 파동 방정식 속에서 확률적이라는 요인은 물리 이론의 결점이지 우주의 진정한 불확실성에 대한 증거가 아니었다.....1920년 고안된 코펜하겐 해석에 따르면 우리는 아무리 싫더라도 꾹 참고 우주가 근본적으로 확률적이라는 사실을 받아들여야 한다. 다시 말해 우리의 관찰은 실제로 우리가 측정하는 사물을 만들어낸다. 

 

우리는 정보 이론을 통해 알고리즘에서 보존되는 데이터의 양을 알아내고 무엇을 잃어버리는지를 알 수 있다. 정보 이론은 수십 년 전부터 이론의 기초가 이미 어느 정도 발전되고 있었지만, 1940년대에 이르러서야 클로드 E. 섀넌(Claude E. Shannon)이 이론으로 정립했다.

숫자가 AABAAAABABBABA처럼 복잡한 숫자들의 나열은 ABABABABABABAB처럼 되풀이되는 패턴에 비해 더 많은 정보를 담고 있다. 두 번째 패턴은 중복되어 있기 때문에 단순화될 수 있지만, 첫 번째 패턴은 그렇지 않다. (두번째 패턴은 AB* 7로 압축할 수 있다).  첫 번째 메시지가 두 번째 메시지에 비해 정보를 더 많이 담고 있는 이유는 첫 번재 메시지가 예측하기 더 힘들며 반복되는 패턴을 통해 설명하기가 힘들어서다. 

이는 예측 불가능성이 정보의 양을 재는 좋은 척도라는 사실을 알려준다. 즉, 메시지 속의 엔트로픽, 혹은 혼란스러움의 정도가 메시지에 담긴 정보량을 측정하는 좋은 수단일 수 있다는 뜻이다. 엔트로피가 낮은 메시지는 정보량이 낮기 때문에 엔트로피가 높은 메시지에 비해 더 많이 압축되어 있다.

 

H값, 정보의 양은 가능한 신호들의 수가 증가할수록, 그리고 그 확률분보가 균일해질수록 큰 음수 값이 된다. 즉 다음 신호가 무엇이 될 것이라고 추측하기가 힘들어질 것이다.

 

푸리에 변환은 수학 함수의 환전소와 비슷하다......거의 모든 복잡한 함수를 무척 단순한 함수들의 무한한 모음으로 바꿀 수 있다. 이런 단순한 함수들은 언제나 사인이나 코사인의 변형이다. 

우리가 처리하려는 신호가 무엇이든 그것을 단순한 삼각함수의 무한한 모음으로 변형시킨다. 

 

베이즈의 정리는 우리가 무언가를 아는 상황에서 다른 무언가의 확률을 판단하는 데 도움이 된다. 우리는 실제 생활에서 관련 정보를 이미 아는 경우가 많기 때문에 이런 상황은 언제나 발생한다. 

 

[ 자평 ]

 

물리학에 나오는 공식에 대하여 기본적인 내용을 정리해 놓은 책이다. 체계가 참 좋다.

공식 하나에 대하여 '어떤 내용일까' -> '이 방정식은 왜 중요할까?' -> 더 자세히 알아보자' 순서로 내용을 정리해 준다.

 

50개의 방정식을 이런 식으로 설명하고 있다.

방정식 자체의 개념적인 이해를 하는 것으로는 만족스러운 책이다. 

 

좀 더 깊고 좋은 책은 이언 스튜어트의 책이 더 나은 것 같다.